宋元数学概述

宋元数学

百度知道

中国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的

数学家。其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋

元数学四大家”。 秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。

其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤

学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、

参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等

地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他

在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、

音律、营造等资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至

1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以

编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这

不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，

也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方

术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的

数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学

方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。 李冶

(1192-1279)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城县(今

河北省栾城县)人。 1234年初，金朝终于为蒙古所灭．金朝的灭亡

给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研

究有了充分的时间．他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学、文

学、历史、天文、哲学、医学．其中最有价值的工作是对天元术进行

了全面总结，写成数学史上的不朽名著----《测圆海镜》。 杨辉，

中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏

杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详

解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘

除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、

《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的

重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的

还编成了歌决，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各

种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"

隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章

算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、

合率、互换、二衰分，勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及

和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是

中国数学教育史上的重要文献。 朱世杰（1300前后），字汉卿，

号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，

“踵门而学者云集”。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四

元玉鉴》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，

影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰

的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程

列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高

次内插法）。 中国元代数学家，对多元高次方程组解法、高阶等差级

数求和，高次内插法都有深入研究，他著有《算学启蒙》(1299年)、

《四元玉鉴》(1303年)各3卷，在后者中讨论了多达四元的高次联立

方程组解法，联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法，已接近

近世代数学，处于世界领先地位，他通晓高次招差法公式，比西方早

四百年，中外数学史家都高度评价朱世杰和他的名著《四元玉鉴》。

中断了吗 我怎么找到的是发展繁荣

中国古代数学的繁荣

960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、

手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术

三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书

省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些

都为数学发展创造了良好的条件。

从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，

如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数

书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算

法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》

等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数

学的高峰。

从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这

个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平

方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方

作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。

根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。

这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的

帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是

刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个

二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次

方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21

个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开

方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成

各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或

用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非

整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求

根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位

数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插

值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招

数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的

内插公式。

用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，

这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程

的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家

的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的

是朱世杰的《四元玉鉴》。

朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来

的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向

上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，

其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系

数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一

未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。

这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。

勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出

已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。

李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容

圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。

已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求

赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都

是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、

沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似

公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学

意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文

献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革

的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已

出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法

和口诀，那么应该说它最后完成于元代。

宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传

统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是

十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主

义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神

明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四

元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思

维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有

力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因

素。参考资料：/view/

回答时间：2008-6-19 22:22

宋元数学总结

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了

中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十

一世纪到十四世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是中国古代

数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数

学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》（11世纪

中叶），刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》

（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉

的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》

（1274-1275，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）

等等。

宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数

学的巅峰。其中主要的工作有：（1）高次方程数值解法；（2）天元术

与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，

并用符号运算来解决建立高次方程的问题；（3）大衍求一术，即一次

同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；（4）招差术和垛积术，即

高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的

研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算

的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家

之间的数学知识的交流也得到了发展。

中国古代数学成就之十二

宋元数学的进展（科技史话）

王诗宗

宋元两代，我国古代数学在汉唐基础上又有了发展，涌现了秦九

韶、李冶、杨辉、朱世杰四大数学家。

秦九韶，四川普州（今安岳县）人，主要著作是南宋理宗淳七

年（1247年）完成的《数书九章》，全书共18卷，81个问题。书中

有一个著名的“遥测圆城”的问题，这个问题给出了一个圆形外围的

直角三角形的某些条件，求圆的直径。秦九韶列出了一个十次方程来

解决这个问题，并且提出了高次方程的数值解法———“正负开方

术”。秦九韶还提出了联立一次同余式的解法———“大衍求一术”。

秦九韶的大衍求一术，将“物不知数”问题推广为一般同余式组解法，

实现了理论上的飞跃。

李冶，真定栾城（今河北栾城）人。代表作为《测圆海镜》，该

书共12卷，170问，都是有关已知直角三角形中某些线段，求内切

圆和旁切圆直径的。该书看似几何书，却叙述了一种普遍的列写代数

方程的方法，即“天元术”。天元术引入了代表未知数的符号，于是

任意的数学高次方程都可以表示为与近代数学一致的普遍形式。李冶

还掌握了将分式方程化为整式方程的方法。

杨辉，浙江钱塘（今杭州）人。主要著有《详解九章算法》、《日

用算法》、《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》等。杨辉受沈括将

堆积的酒坛类比于层坛体积的做法启示，正式提出了“比类”一词（即

“比照类推”），并在《详解九章算法》的“商功”部分中，分别将隅

垛、方垛、三角垛与《九章算术》中的方锥、方亭、鳖相比类，得

到了几个重要的多阶等差级数公式。杨辉的著作中还介绍了许多他人

的数学成果，例如改革筹算乘除运算的“以加代乘”法和“以减代除”

法，以及当时的一些乘法口诀。最为重要的是，他记录了北宋数学家

贾宪的一个三角数表。这个数表实际上就是二项式展开的系数表，（a

＋b）2、（a＋b）3的展开各项系数均可以在数表的第三四行找到。

这个表通常被称做“杨辉三角”，它完全等同于法国数学家帕斯卡1653

年提出的“帕斯卡三角”。由于该数表有丰富的数学内涵，所以至今

仍为人们所重视。

四大名家中，朱世杰堪称一位集大成者。朱世杰，字汉卿，燕山

（今北京一带）人。在14世纪初，他将解一个未知数方程的天元术，

发展成了有四个未知数的方程组的解法———四元术；他还将三角垛

的公式引用到招差术中，得到包含四次差的招差公式，并且可以推广

到任意高次。朱世杰对球体表面积问题也作过探讨，虽然未成功，却

是中国数学史上惟一一次探讨这一问题。可以说，他将中国古代数学

推上了一个前所未有的高峰。

秦、李、杨、朱四大名家的数学成果，诸如正负开方术、天元术、

四元术、大衍求一术、垛积术和招差术，都是具有开创意义的数学成

就，西方类似成就的出现要晚数百年。宋元时期，是我国传统数学的

一个黄金时期。

《人民日报海外版》 (2002年09月30日第八版)

宋元数学的主要成就及其影响

摘要： 本文通过简介宋元数学的主要成就——曾乘开方法、高

次方程求解法、大衍求一术、天元术、四元术等，说明宋元数学在整

个数学史中占有重要地位。

关键词： 宋元数学 主要成就 影响

1.宋元数学概述

宋元数学，从时间上说它包括由北宋到元末大约四百年的时

间。在此期间，涌现了许多优秀的数学家，其中最卓越的代表，如通

常所说的“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在数学

史占有重要的地位。同时期的欧洲正处在中世纪，中国数学家的光辉

灿烂成就，在部分问题的解决上，远远走在世界前列。

宋元数学是在汉唐数学的基础上发展起来的，不仅贾宪、杨

辉、秦九韶的数学著作都称为“九章”，前二者甚至就是《九章》的

问题编集，而且更多的数学问题都来源于《九章》，如李冶、郭守敬

等人的成果。由于雕版印刷术的发达，北宋王朝在元丰七年由官方的

“秘书省”刊到了《九章算术》等汉唐以来的十部算经，作为学校的

课本［１］。《算经十书》作为教科书被印刷出来，对宋元数学教育以

至数学研究方面所产生的影响是不言而喻的。

宋元数学之所以成为中国古代数学发展的高峰，与其当时出

现的杰出数学家及其对中国当时数学有巨大贡献的著作有密不可分

的关系。（剩余2083字）

数学发展史(2011-01-29 16:12:32)转载标签： 杂谈

宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指

可数的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈

括等人都作出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为

基础的。所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文

化水平。 珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。

宋元时期，由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科

学知识。传统的筹算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需

要。因此，改革运算工具就更显得迫切了。 珠算盘是人们在长期的

改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定化演变而来，经过不

断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。 珠算盘最

迟在元末便已普遍使用了。珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算

法歌诀相配合，真正做到得心应手，形成了简单快速的珠算术。虽然

现在已进入了电子计算机的时代，但是在以加减运算为主的财会工作

中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲美，所以算盘仍保持着重

要的地位。 宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立

算学仍与隋唐相同。颇具特色的是私立算学不但数量比以前大增，讲

授的内容较广泛，效率也比官设算学高得多。 唐宋以来，中国和阿

拉伯保持着密切联系，阿拉伯商人在广州、泉州、扬州经商，哈里发

与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、幻方、“格

子算”、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进位制、

分数记法、“百鸡问题”、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在阿

拉伯的一些著作中。 有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个

方面。首先，工商业和城市的发展使社会对数学的需要增加。其次，

由于宋代地主阶级人数扩大，许多人终生不得仕进，所以作为六艺之

一的数学有较大的吸引力。宋元四大家的著作都是赋闲时的研究成

果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力和时间，而且成败无

伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农经济。这是中

国数学能持续发展的主要原因。 宋元数学虽然达到了顶峰，但也存

在着严重的危机。一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统

治地位的社会意识的变化。数学仍被认为是“九九贱技”。数学家们

在思想上受着压抑。虽然他们在社会下层受到尊重，但是当他们面对

上流社会时，总难免自卑自贱。数学四大家在为自己著作写的序言中

都流露了这种感情。另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元

时期数学的一大特点。由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，

数学被导向神秘化。因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展

缓慢，明末以后，中国数学已经落后于世界先进水平。 总的说来，

在中世纪长达一千多年的时期内，由于欧洲的科学一直处于萧条和不

景气局面，科学的中心转移到了东方，于是数学也随之而进入了“东

方的发展阶段”。当时的东方国家，如中国、阿拉伯各国和印度，在

数学上都取得了相当高的成就。而这一时期的欧洲，没有特别重大的

数学发现，主要是吸收古代世界和东方的数学遗产的时期。

宋元数学四大家2009-09-30 23:22中国古代数学，经过从汉到唐

1000多年间的发展，已经形成了十分完备的体系。在这基础上，到

了宋、元时期又有了新的发展。宋元数学，从它的发展速度之快、数

学著作出现之多和取得成就之高来看，都可以说是中国古代数学史上

归光辉的一页。特别是13世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出

现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四位著名的数学家，并称为“宋元

数学四大家”。

秦九韶（1202~1261年），字道古，四川人，南宋数学家，著有

《数书九章》1卷。全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、

田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是

一部划时代的巨著，它总结了装腔作势在开方在所使用的列筹方法，

将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去。其

中，对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方

程的数值解法）等有十分深入的研究。“大衍求一术”“在世界数学史

上都占有崇高的地位。

李冶（1192~1279年），字仁卿，号敬斋，栾城人（今河北石家

庄），金元之际数学家。阿冶最大的贡献是在发展“天元术”的过程

中所起到的作用。所谓“天元术”是列方程的方法，先“立天元”（设

未知数为X），再依题意列出两个相等的代数式，“相消”（相当于集

项于方程左端，使右端为零）后，使得“开方式”（所求方程），与现

代求解方程的方法一致。在欧洲，直到16世纪才出现类似的代数学

方法。他的代表作《测圆海镜》、《益古演段》，对我国的初等代数起

到了奠基作用。

杨辉（约公元13世纪中叶至后半叶），字谦光，钱塘（今浙江杭

州）人，南宋数学家和数学教育家。他著3有《详解九章算法》12

卷（1261年）、《日用算法》2卷（1262年）、〈乘除通变本末〉3卷（1274

年）、〈田亩比类乘除算法〉2卷（1275年、〈续古摘奇算法〉2卷（1275

年）等。

杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面。他对筹算

乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀。他在〈续古摘奇算

法〉中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法。同时，“垛

积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级由浅入深的顺序，

重新分为乘除、分率、合率、互换、叠积、盈不足、方程、勾股等九

段。他非常重视数学的普及和发展，在〈算法通变本末〉中，杨辉为

初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献。

朱世杰（约公元13世纪下半叶至14世纪初），字汉卿，号松庭，

元朝燕山（今北京附近）人。朱世杰全面继承了秦九韶、李冶、杨辉

三人的数学成就和各种实用算法，而且创造性地予以发展，写出〈算

学启蒙〉3卷、〈四元玉鉴〉3卷等著名著作，把我国古代数学推向更

高的境界，形成宋、元时期中国数学的最高峰。

〈算法启蒙〉全书分3卷，20门，总计259个问题和相应的解

答，自乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，

全面介绍了当时数学所包含的各方面的内容。它的体系完整，内容深

入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。

〈四元玉鉴〉更是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研

究者的高度评价，被认为是中国数学著作中最重要的一部，同时也是

中世纪最杰出的数学著作之一。〈四元玉鉴〉共3卷，24门，288问，

介绍了朱世杰在多元次方程组的解法——“四元术”、高阶等差级数

的计算——“垛积术”以及“招差术”（有限差分）等方面的研究成

果。

秦、李、杨、朱的数学著作内容广泛而艰深，像高次方程的数值

解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等，都是具有

世界意义的学术成就，分别比欧洲要早出现400到800年，在当时世

界上居于遥遥领先的地位。这一丰富多彩的辉煌时期在我国数学史上

也是罕见的。

中国古代数学发展及其影响

数学与系统科学研究院 李文林

摘要：中国古代数学具有悠久的传统。本文论述了中国古代

数学的算法化、机械化特征及其对世界数学发展主流的历史贡献，并

指出了解中国古代数学发展特征对于现实创新活动的借鉴意义。

1 中国古代数学的发展

在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。

从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，

即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。

与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是

以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多

项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法

(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数

方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，

几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中

国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中

国古代数学发展的这种特征。

1.1 线性方程组与“方程术”

中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)

卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用

现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组：

3x+2y+z＝39

2x+3y+z＝34

x+2y+3z＝26

《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将xyz的系数

和常数项排列成一个(长)方阵：

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结

果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左

行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。

很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们

今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯

消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数

学系主任l教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的

消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。

1.2 高次多项式方程与“正负开方术”

《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算

术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时

代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成

者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解

的完整算法，即他所称的“正负开方术”。

用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任

意给定的方程

f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+……+a[n-2]x^2+a[n-1]x+a[n]=0 (1)

其中a[0]≠0，a[n]<0，要求(1)式的一个正根。秦九韶先估

计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x

＝c+h，代入(1)得

f(c+h)=a[0](c+h)^n+a[1](c+h)^(n-1)+……+a[n-1](c+h)+a[n]=0

按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程:

f(h)=a[0]h^n+a[1]h^(n-1)+……+a[n-1]h+a[n]=0 (2)

（注：这里(2)和(1)式子里的a[i]，一般是不一样的。）

于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行

下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则

上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。

如果从原方程(1)的系数a[0],a[1]，„,a[n]及估值c求出新方

程(2)的系数a[0],a[1]，„,a[n]的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶

给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”，他在《数

书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，

其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐

划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。

1.3 多元高次方程组与“四元术”

绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量

的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为

代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。

多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早

对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰

的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。

朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、

“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序

消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元

程序。

通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四

元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题

导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的

例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化

和机械化的倾向。

1.4 一次同余方程组与“中国剩余定理”

中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形

如：

(其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。

公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名

的“孙子问题”：

X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7)

《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次

同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般

算法称为“中国剩余定理”。

1.5 插值法与“招差术”

插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，

早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初

是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，

727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随

着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时

历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公

式，即他所说的“招差术”。朱世杰的公式相当于

f(n)=n△ + n(n-1)/2!△2 + n(n-1)(n-2)/3!△3 +

n(n-1)(n-2)(n-3)/4!△4 + „„

这是一项很突出的成就。

这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以

上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使

按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，

有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提

到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W.

霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究

在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的著作中出现；解一次

同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的

高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。

这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”

和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计

算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算

法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能

力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却

在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算

法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维

在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。

1.6 负数的引进

《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会

出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引

进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。

对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度

数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到

16世纪，韦达的著作还回避负数。

1.7 无理数的发现

中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》

开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，

《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。

“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线

不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地

接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用

的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近

似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注

中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求

微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，

退之弥下，其分弥细，则„„虽有所弃之数，不足言之也”。

十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学

家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统

在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵

循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学

大厦。

1.8 贾宪三角或杨辉三角

从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我

们可以看到，中国古代开方术是以(c+h)^n的二项展开为基础的，这

就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》

(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项

系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。

“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系

数表在西方则叫“帕斯卡三角”(1654年)。

1.9 走向符号代数

解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。

在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前

列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符

号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和

以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为

某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹

算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数

情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元

术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。

符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈

出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程

的算法为主线的中国古代数学的一个高峰。

2 中国古代数学对世界数学发展的贡献

数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定

理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造

昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾

向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌

头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古

代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而

在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁

荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数

学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何

与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的

产物。

从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列

实际问题的普遍算法的结果。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、

求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体

积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于

获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些

特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它

们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算

法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的

瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算

法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数

学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、

伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期

内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会

把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认

为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演

绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个

分析大厦了。

现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿

发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演

绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就

会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：

“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加

聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》

的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的

法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，

认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮

助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，

并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描

述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一

切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几

何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方

案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些

代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法

去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一

脉相承。

因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学

兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—

18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无

穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代

直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据

了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替

繁荣、螺旋式上升过程：

演绎传统——定理证明活动

算法传统——算法创造活动

的巨大贡献。

我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学

中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，

已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”

一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可

与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”

原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这

种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文

重点，对这方面的内容这里不能详述。

3 古为今用，创新发展

到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学

的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定

理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现

新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理„„，这一切可

以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏

锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪

50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算

机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，

毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现

代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学

机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴

文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，

至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代

数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发

扬光大。

计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对

中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计

算机科学家就呼吁人们关注古代中国和印度的算法5。多

年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周

知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而

阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天

文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西

《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国

来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来

自中国的学者。

然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的

影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是

为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他

荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基

金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义

之举。

研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得

借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。

吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一

个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙

去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我

想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深

究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论

的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，

呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。

2007-07-25 转自中国科学院院刊

数学史的教育功能

张建寿 发布时间： 2010-8-4 11:39:35

数学史的教育功能

数学作为一数学史的教育功能

数学作为一门基础学科，一直受到学校、家长、学生的重视，而绝大

多数学校、家长几乎只看中数学作为科学知识的价值，而忽视了数学

本身具有的人文价值和德育价值。

1.通过了解数学发展的曲折历程，培养学生的创新意识

从数学在史前时期出现，到古埃及数学，人类走过了漫长的历史时期。

古埃及人利用象形文字记数，能够准确计算三角形、正方形和六边形

的面积等。后来希腊数学为人类文明作出了巨大的贡献，尤其在平面

几何方面。随着工业革命的发生，数学有了巨大的飞跃从常量数学发

展到变量数学，后来为了更好的为社会发展服务，微积分被两为伟大

的数学家牛顿和莱布尼茨先后发现。在17、18世纪数学以前所未有

的速度发展，解决生产生活中的难题，几乎渗透到所有的学科当中。

数学的发展依赖于无数的数学家辛勤的工作和对数学的献身精神，但

仅有这些是不够的，更需要科学家非凡的创新能力，和对数学的敏锐

的洞察力。例如现代计算机的发明，是人类智慧和数学算法的完美结

合，正是由于冯•偌依曼大胆的尝试，才诞生了第一台计算机，后来

才有了计算机时代的到来。通过对这些数学史的了解，会帮助学生体

会数学发展的艰难曲折，同时也让他们知道只有创新，才能推动一门

科学的发展，也只有创新才能推动一个国家的发展和强大。同时学习

也是一样，如果学习一味地模仿，那永远不会有优异的成绩，只有将

数学知识自我加工，自我建构，才能有效的学习。

2.通过数学史的学习，激发学生的学习兴趣

数学史中介绍了大量的有关数学发展的故事和数学家的故事。这些故

事不仅讲述了数学知识，同时也蕴涵着人文精神。例如在讲等差数列

前项和这一节，我就请同学讲高斯求和的故事引入，步步设疑，引导

学生通过探究高斯求和方法的好处在哪里？他与我们的常规思维有

什么不同之处？学生在整个学习探究的过程中都表现出了极大的学

习兴趣，较高的思维水平，完成了平时根本解决不了的思维难题。下

课后，还有学生追着我借关于高斯的书籍。课后，我一直在想应该进

一步激发学生了解高斯的人生的兴趣，从而激发他们学习数学的兴

趣。于是我就布置了一项查找关于高斯的故事的作业，学生的积极性

非常高，查找到的资料也比较丰富。为了让这些资料发挥互相交流，

开拓学生视野的作用，我们就将同学们搜集到的资料加以整理，贴在

得巨大贡献。

3.通过对我国数学家对数学发展的贡献，进行爱国主义教育

中国古代创造了灿烂的文明，不仅是在社会发展、经济发展，还在于

有着悠久的历史。数学作为一门基础学科，与人类社会发展息息相关

的科学，必然伴随着人类社会的发展而发展。中国数学的发展，也不

例外。

3．1中国古代数学大概经历了四个时期。[9]

(1).数学体系形成时期（自秦代至西汉、东汉时期，即前221—220年）

主要成就是《九章算术》，其中记载了当时世界上最先进的分数四则

和比例算法。各种面积和体积的计算以及关于勾股测量的计算也比较

先进。《九章算术》的出现标志着我国古代数学体系的形成。

（2）数学的稳步发展时期（魏晋南北朝至隋唐时期，即221—907年）

这个时期的主要成就是刘徽和祖冲之的工作。刘徽的著作有《九章算

术注》和《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》等。

祖冲之是继刘徽之后的一位著名的数学家，在刘徽割圆术的基础上，

计算圆周率精确到小数点后第六位。这一记录直到15世纪才被阿拉

伯数学家阿而·卡西打破。另外祖冲之的儿子也是一位数学家，他们

父子彻底推出球的体积公式。在当时都是比较先进的数学研究成果。

在讲有关圆周率的时候，我们就可以介绍祖冲之及其主要成就，让学

生了解中国古代数学的发展，并为此感到光荣。

（3）数学的全盛时期（宋元至元代，即900—1368年）

宋元时期数学，可以说是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时

期，出现了沈括、秦九韶、李治、杨辉、朱世杰等著名的数学家和他

们编写的数学著作。如沈括的《梦溪笔谈》，秦九韶的《数学九章》

等。这一时期数学家取得了很多具有世界意义的成就，特别是高次方

程数值解法、天元术和四元术、大衍求一术 、垛积术和招差术等。

宋元数学是中国数学史上光辉灿烂的一页，也是中世纪世界数学史上

最丰富多彩的一页。在这个时期，中国古代数学在许多方面超过西方，

处于遥遥领先的地位。在数列求和的问题讲到自然数的平方的前n项

和，我们就应给学生介绍北宋沈括《梦溪笔谈》中曾经研究二阶级数

求和问题，首创“隙积术”。南宋杨辉丰富和发展了隙积术的成果，

提出

S=12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)

S=1+3+6+10+…+n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)

之类的垛积公式。激励学生思考问题，探究问题的积极性，提高学习

的愉悦感。

（4）沉寂时期（明清时期）

随着封建社会的发展和中国社会选拔人才的科举制度的完善，以及儒

家思想对中国知识分子的思想的深远影响，中国近代数学进入了衰落

期。在清朝末期，我们开始向日本学习数学的新知识。而在明治维新

之前，日本一直在向我们学习。这巨大的反差正说明了中国数学在的

衰落。更验证了一句话“落后就要挨打”。鼓励学生努力学习，为祖

国的明天贡献自己的一份力量。

3．2当代中国数学的发展

新中国成立以后，在一些数学家的努力下，中国数学有了一些令人骄

傲的成绩。比如著名数学家华罗庚在数论、矩阵几何学，典型群，自

守函数论，偏微分方程及高维数值积分等很多领域都作出了卓越的贡

献。陈景润在证明《歌德巴赫猜想》方面所做的贡献被国际数学界瞩

目。王元不仅在数论方面有成就，同时他也是激光照排的发明者，对

现代印刷业的发展作出了巨大的贡献。另外《庞家莱猜想》的证明也

说明，中国数学在新中国成立之后，有了长足的发展。但我们相对发

达国家的水平，还是落后的所以我们要鼓励青年学生热爱数学，对数

学有兴趣，能够有更多的人具备起码的数学素质，同时也希望能涌现

出大量的数学优秀人才，为祖国数学明天的发展添砖加瓦。

4．了解数学知识发生、发展的过程，促进学生对数学概念、定理和

公式的理解

任何一门学科的发展都有着知识发生、发展的过程，也只有了解了知

识产生的现实背景和问题背景，我们才能明确学习的目标。如果我们

在学习对数的时候不告诉学生对数产生的问题背景，只是机械的告诉

学生对数的运算法则，然后进行大量练习，在这种情况下，学生可能

会学会对数的简单运算。但是，学生永远都不知道学习对数的目的是

什么？它能解决哪些问题，更别说对数式与指数式之间的关系。这样

学生只知道运算，别的一无所知。那么我们就把学生教成了能进行对

数运算的计算器。相反，如果我们在学习对数之前先抛给学生一个指

数方程，求指数。先让学生由特殊到一般解决问题，学生在解决的时

候就遇到了现有知识不能解决的问题。这时我们在适时引导学生学习

对数的概念，学生此时就容易理解对数的概念及对数式与指数式的关

系。然后在通过练习引导学生探究发现对数运算法则。这样就容易将

新知识纳入已有的知识体系之中，同时也更符合高中学生的认知水

平。当然我们还可以指导学生阅读《对数的发现》教材的阅读材料，

进一步帮助学生了解对数的产生背景，从而更好的学习。

5．鼓励学生搜集感兴趣的数学史知识，培养学生查阅资料文献，分

析资料的能力

利用研究性学习，我们引导学生查阅资料，分析资料，帮助学生了解

他们喜欢的有关数学的某一个知识块的研究历程，或者关于自己喜欢

的某一个数学家的故事等。开展了有关数学发展历史的知识的搜集和

整理工作。学期末，在教师的倡议下，我们还组织了不同主题有关数

学史的内容的资料的展板，展示给全校师生。展板展出期间，得到很

多同学和老师的关注，经常在课间休息的时候三五成群的在展板前认

真阅读。在这个过程中，学生初步体会了科学家进行科学研究时的文

献研究的过程，同时学会利用图书馆和互连网查阅所需资料的方法，

更体会到合作学习和工作带来的快乐和思想方法上的交流。

6．鉴过去而知未来，感悟数学与社会

数学的发展与社会的进步息息相关，互相促进。一方面，数学的发展

以来于社会环境，受社会经济、政治和文化等诸多因素的影响；另一

方面，数学的发展有反过来对人类的社会进步起推动作用，不管是物

数学对人类物质文明的影响，突出的反映在它与能够改变人类生活方

式的产业革命上。牛顿和莱布尼茨发明的微积分作为一种强有力的新

工具，推动第一次产业革命的发展。19世纪60年代，第二次产业革

命开始，以电磁理论的发展推动了发电机、电动机和电气通讯的发展，

而电磁理论的发展与数学分析的应用分不开。第三次产业革命，主要

以电子计算机的发明使用、原子能以及空间技术、生产自动化等为标

志。这些技术在发展的关头都记载着数学家的不可磨灭的功绩。

（2）精神文明

数学不仅是一门科学，同时它也是人类文化的重要组成部分。数学本

身发展的过程，就展现了数学家不断探索的科学精神，更体现了他们

为了自己的兴趣乐此不疲的钻研精神。在谈到数学家之间为了某一问

题的解决，互相交流讨论合作的意识和深厚的友谊时，都是人类发展

过程中重要的精神财富。作为一线的教师我们有责任让学生了解这些

知识，从数学家身上学习数学的方法和持之以恒的学习和工作的毅

力，鼓励学生克服困难努力学习数学。同时也可以提高学生对数学这

门学科的认识，普及数学文化，提高公民的文化素质。门基础学科，

一直受到学校、家长、学生的重视，而绝大多数学校、家长几乎只看

中数学作为科学知识的价值，而忽视了数学本身具有的人文价值和德

育价值。

1.通过了解数学发展的曲折历程，培养学生的创新意识

从数学在史前时期出现，到古埃及数学，人类走过了漫长的历史时期。

古埃及人利用象形文字记数，能够准确计算三角形、正方形和六边形

的面积等。后来希腊数学为人类文明作出了巨大的贡献，尤其在平面

几何方面。随着工业革命的发生，数学有了巨大的飞跃从常量数学发

展到变量数学，后来为了更好的为社会发展服务，微积分被两为伟大

的数学家牛顿和莱布尼茨先后发现。在17、18世纪数学以前所未有

的速度发展，解决生产生活中的难题，几乎渗透到所有的学科当中。

数学的发展依赖于无数的数学家辛勤的工作和对数学的献身精神，但

仅有这些是不够的，更需要科学家非凡的创新能力，和对数学的敏锐

的洞察力。例如现代计算机的发明，是人类智慧和数学算法的完美结

合，正是由于冯•偌依曼大胆的尝试，才诞生了第一台计算机，后来

才有了计算机时代的到来。通过对这些数学史的了解，会帮助学生体

会数学发展的艰难曲折，同时也让他们知道只有创新，才能推动一门

科学的发展，也只有创新才能推动一个国家的发展和强大。同时学习

也是一样，如果学习一味地模仿，那永远不会有优异的成绩，只有将

数学知识自我加工，自我建构，才能有效的学习。

2.通过数学史的学习，激发学生的学习兴趣

数学史中介绍了大量的有关数学发展的故事和数学家的故事。这些故

事不仅讲述了数学知识，同时也蕴涵着人文精神。例如在讲等差数列

前项和这一节，我就请同学讲高斯求和的故事引入，步步设疑，引导

学生通过探究高斯求和方法的好处在哪里？他与我们的常规思维有

什么不同之处？学生在整个学习探究的过程中都表现出了极大的学

习兴趣，较高的思维水平，完成了平时根本解决不了的思维难题。下

课后，还有学生追着我借关于高斯的书籍。课后，我一直在想应该进

一步激发学生了解高斯的人生的兴趣，从而激发他们学习数学的兴

趣。于是我就布置了一项查找关于高斯的故事的作业，学生的积极性

非常高，查找到的资料也比较丰富。为了让这些资料发挥互相交流，

开拓学生视野的作用，我们就将同学们搜集到的资料加以整理，贴在

了班级后面的学苑奇葩上，让同学更多的了解高斯在数学发展中所做

得巨大贡献。

3.通过对我国数学家对数学发展的贡献，进行爱国主义教育

中国古代创造了灿烂的文明，不仅是在社会发展、经济发展，还在于

有着悠久的历史。数学作为一门基础学科，与人类社会发展息息相关

的科学，必然伴随着人类社会的发展而发展。中国数学的发展，也不

例外。

3．1中国古代数学大概经历了四个时期。[9]

(1).数学体系形成时期（自秦代至西汉、东汉时期，即前221—220年）

主要成就是《九章算术》，其中记载了当时世界上最先进的分数四则

和比例算法。各种面积和体积的计算以及关于勾股测量的计算也比较

先进。《九章算术》的出现标志着我国古代数学体系的形成。

（2）数学的稳步发展时期（魏晋南北朝至隋唐时期，即221—907年）

这个时期的主要成就是刘徽和祖冲之的工作。刘徽的著作有《九章算

术注》和《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》等。

祖冲之是继刘徽之后的一位著名的数学家，在刘徽割圆术的基础上，

计算圆周率精确到小数点后第六位。这一记录直到15世纪才被阿拉

伯数学家阿而·卡西打破。另外祖冲之的儿子也是一位数学家，他们

父子彻底推出球的体积公式。在当时都是比较先进的数学研究成果。

在讲有关圆周率的时候，我们就可以介绍祖冲之及其主要成就，让学

生了解中国古代数学的发展，并为此感到光荣。

（3）数学的全盛时期（宋元至元代，即900—1368年）

宋元时期数学，可以说是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时

期，出现了沈括、秦九韶、李治、杨辉、朱世杰等著名的数学家和他

们编写的数学著作。如沈括的《梦溪笔谈》，秦九韶的《数学九章》

等。这一时期数学家取得了很多具有世界意义的成就，特别是高次方

程数值解法、天元术和四元术、大衍求一术 、垛积术和招差术等。

宋元数学是中国数学史上光辉灿烂的一页，也是中世纪世界数学史上

最丰富多彩的一页。在这个时期，中国古代数学在许多方面超过西方，

处于遥遥领先的地位。在数列求和的问题讲到自然数的平方的前n项

和，我们就应给学生介绍北宋沈括《梦溪笔谈》中曾经研究二阶级数

求和问题，首创“隙积术”。南宋杨辉丰富和发展了隙积术的成果，

提出

S=12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)

S=1+3+6+10+…+n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)

之类的垛积公式。激励学生思考问题，探究问题的积极性，提高学习

的愉悦感。

（4）沉寂时期（明清时期）

随着封建社会的发展和中国社会选拔人才的科举制度的完善，以及儒

家思想对中国知识分子的思想的深远影响，中国近代数学进入了衰落

期。在清朝末期，我们开始向日本学习数学的新知识。而在明治维新

之前，日本一直在向我们学习。这巨大的反差正说明了中国数学在的

衰落。更验证了一句话“落后就要挨打”。鼓励学生努力学习，为祖

国的明天贡献自己的一份力量。

3．2当代中国数学的发展

新中国成立以后，在一些数学家的努力下，中国数学有了一些令人骄

傲的成绩。比如著名数学家华罗庚在数论、矩阵几何学，典型群，自

守函数论，偏微分方程及高维数值积分等很多领域都作出了卓越的贡

献。陈景润在证明《歌德巴赫猜想》方面所做的贡献被国际数学界瞩

目。王元不仅在数论方面有成就，同时他也是激光照排的发明者，对

现代印刷业的发展作出了巨大的贡献。另外《庞家莱猜想》的证明也

说明，中国数学在新中国成立之后，有了长足的发展。但我们相对发

达国家的水平，还是落后的所以我们要鼓励青年学生热爱数学，对数

学有兴趣，能够有更多的人具备起码的数学素质，同时也希望能涌现

出大量的数学优秀人才，为祖国数学明天的发展添砖加瓦。

4．了解数学知识发生、发展的过程，促进学生对数学概念、定理和

公式的理解

任何一门学科的发展都有着知识发生、发展的过程，也只有了解了知

识产生的现实背景和问题背景，我们才能明确学习的目标。如果我们

在学习对数的时候不告诉学生对数产生的问题背景，只是机械的告诉

学生对数的运算法则，然后进行大量练习，在这种情况下，学生可能

会学会对数的简单运算。但是，学生永远都不知道学习对数的目的是

什么？它能解决哪些问题，更别说对数式与指数式之间的关系。这样

学生只知道运算，别的一无所知。那么我们就把学生教成了能进行对

数运算的计算器。相反，如果我们在学习对数之前先抛给学生一个指

数方程，求指数。先让学生由特殊到一般解决问题，学生在解决的时

候就遇到了现有知识不能解决的问题。这时我们在适时引导学生学习

对数的概念，学生此时就容易理解对数的概念及对数式与指数式的关

系。然后在通过练习引导学生探究发现对数运算法则。这样就容易将

新知识纳入已有的知识体系之中，同时也更符合高中学生的认知水

平。当然我们还可以指导学生阅读《对数的发现》教材的阅读材料，

进一步帮助学生了解对数的产生背景，从而更好的学习。

5．鼓励学生搜集感兴趣的数学史知识，培养学生查阅资料文献，分

析资料的能力

利用研究性学习，我们引导学生查阅资料，分析资料，帮助学生了解

他们喜欢的有关数学的某一个知识块的研究历程，或者关于自己喜欢

的某一个数学家的故事等。开展了有关数学发展历史的知识的搜集和

整理工作。学期末，在教师的倡议下，我们还组织了不同主题有关数

学史的内容的资料的展板，展示给全校师生。展板展出期间，得到很

多同学和老师的关注，经常在课间休息的时候三五成群的在展板前认

真阅读。在这个过程中，学生初步体会了科学家进行科学研究时的文

献研究的过程，同时学会利用图书馆和互连网查阅所需资料的方法，

更体会到合作学习和工作带来的快乐和思想方法上的交流。

数学的发展与社会的进步息息相关，互相促进。一方面，数学的发展

以来于社会环境，受社会经济、政治和文化等诸多因素的影响；另一

方面，数学的发展有反过来对人类的社会进步起推动作用，不管是物

质文明还是精神文明。

（1）物质文明

数学对人类物质文明的影响，突出的反映在它与能够改变人类生活方

式的产业革命上。牛顿和莱布尼茨发明的微积分作为一种强有力的新

工具，推动第一次产业革命的发展。19世纪60年代，第二次产业革

命开始，以电磁理论的发展推动了发电机、电动机和电气通讯的发展，

而电磁理论的发展与数学分析的应用分不开。第三次产业革命，主要

以电子计算机的发明使用、原子能以及空间技术、生产自动化等为标

志。这些技术在发展的关头都记载着数学家的不可磨灭的功绩。

（2）精神文明

数学不仅是一门科学，同时它也是人类文化的重要组成部分。数学本

身发展的过程，就展现了数学家不断探索的科学精神，更体现了他们

为了自己的兴趣乐此不疲的钻研精神。在谈到数学家之间为了某一问

题的解决，互相交流讨论合作的意识和深厚的友谊时，都是人类发展

过程中重要的精神财富。作为一线的教师我们有责任让学生了解这些

知识，从数学家身上学习数学的方法和持之以恒的学习和工作的毅

力，鼓励学生克服困难努力学习数学。同时也可以提高学生对数学这

门学科的认识，普及数学文化，提高公民的文化素质。

略谈我国古代数学成就

作者：霜泠长河 提交日期：2005-7-14 20:02:00

中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国。中国古代四

大发明曾经极大的推动了世界文明的进步，同样作为中国文化的一个

重要组成部分，中国古代数学由于其自身的历史渊源和独特的发展过

程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学和发展的历史长河

中一支重要的源头。

数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算

数之术”，相当于英文中的“mathematics”。而不是“arithmetic”，所

研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等

方面的内容。后来，算术又称为算学、算法、在宋元时期始用“数学”

一词。此后“算学、数学”两词并用。直至1936年月，经中国数学

名词委员会确定使用“数学”后，“算学”方弃之不用。

数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远

的古代。据古籍记载，考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元

3000年左右，中华古老的大地上就有了数学的萌芽，这就是：

一 中国数学的萌芽期——先秦时期

在这一时期，中国古代的数学成就主要有以下几个方面：

1、结绳记事。据《易·系辞传》记载：“上古结绳而治。”而在

《易·九家义》中，明确地解释了这种用法：“事大，在结其绳；事

小，小结其绳。结之多少，随物之众寡。”而据《史记》记载“伏羲

始画八卦，造书契，以代结绳之治。”这充分说明在伏羲这位中国神

话中的人类始祖之前，这种记事方法就已经十分流行，并开始用“八

卦”和“书契”来代替“结绳记事”了。

2、规和矩的使用。规矩这一中国传统的几何工具，在《周礼》、

《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍中才有明确的记载：“圆者中规，

方者中矩”。

3、十进制记数法、分数的应用及筹算。据对河南安阳发掘出土

的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，在中国商代（公元前16世纪

—公元前12世纪）就已采用了“十进制记数法”，并有十、百、千、

万等专用的大数名称，这是对世界数学的最大贡献。正如李约瑟博士

所指出的那样：“如果没有这种十进制就几乎不可能出现我们现在这

个统一化的世界了。”

4、精湛的几何思想。除了那个时代的陶器给我们展示了精美的

几何图形外，战国时期（公元前475年—公元前221年）诸子百家们

的著述包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。

墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如：“平，同高

也”（两直线或平面间的距离处处相等即为平行）；“圜，一中同长也”。

其中甚至还涉及到有穷与无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容

尺，无穷也。”而名家则以善辩著称，对无穷的概念有更加深刻的认

识。如《庄子》中记载“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”（“大

一”即无穷大，“小一”即无穷小）；“一尺之棰，是取其半，万世不

竭”；“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时（动与静的

辩证关系）。这些可以说与古代希腊的芝诺悖论有异曲同工之妙，也

是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。

5、数学教育的开始。在我国的甲骨文中就有了关于教育的记载，

而记载周代教育制度的古老典籍《周礼·地官》中保氏一节就有：“保

氏掌谏王恶，而养国之以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三

曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”并称：“六年教之数（sh

ǔ），十年学书计”。由此可见，早在周代国家就将数学列为贵族子弟

必修课之一，对数学不但重视且以典制形式规定下来，在世界历史上

也是罕见的。

二 中国传统数学体系的形成——汉唐时期

从汉代开始，中国经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给

科学的进步提供了物质基础，数学有了长足和发展，其主要标志是以

《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。

《周髀算经》（原名《周髀》）是这一时期一重要著作。该书大

概成书于公元前2世纪的西汉时期，许多内容还可以追溯到西周（公

元前11世纪—公元前8世纪，该书中有对“勾股定理“的最早记录。

而标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。

全书成书于西汉末东汉初（即公元一世纪）。《九章算术》全书采用问

题集的形式，共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活

有密切联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、

少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。书中每道題皆有答有

术，其中“术”通常是解題思想方法、公式、法则。有的一題一术，

有的一題多术。《九章算术》注重实际问题和长于计算，对中国传统

数学的发展有着极其深刻的影响。其成书后便成为中国传统数学的经

典，特别是唐代以来，经官方认定，该书成为“算经十书”中的重要

一部，成为后来的数学家们演习、研究和著述的依据。在代数方面，

《九章算术》中的线性方程组的解法以及正负数加减运算是当时世界

上无与伦比的两项重大成就，前者比欧洲早1500年，后者也早了1200

多年，而给出这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，刘徽的代表

作是《九章算术注》，他在几何方面的贡献尤为突出，如割圆术、体

积理论、勾股测量等等。他是具有中国特色的传统几何理论的奠基人。

事实上，刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，

发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的

贡献。数学史界的一个普遍观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》

去研究《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精髓。

这一时期不得不提的还有两个重要人物：祖氏父子，他们的著

作《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。祖

冲之（429—500），在计算圆周率等问题方面有光辉成就。他的儿子

祖暅在数学上也有突出贡献，祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出

了“祖暅原理”（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于两个

平面的任何平面所截，如果每次截得的两个截面的面积都相等，那么

这两个几何体的体积相等）。在西方，这一原理直至17世纪才由意大

利数学家卡瓦列里发现，比祖暅晚了1100多年。

刘徽注《九章算术》、赵爽注《周髀》及祖氏父子的工作，使中

国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度。这一时期著作较

多，流传至今的就还有：《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、

《五经算术》、《数学记遗》和《夏侯阳算经》、《缉古算经》等等，这

些著作的出现标志着我国古代数学研究的深入和数学教育的普及。

三 中国传统数学的兴盛——宋元时期

中国数学的发展在宋元时期縠高峰，这一时期包括宋元二代（即

公元900年—1368公元年，其显著标志是数学家及其数学著作的大

批涌现。据不完全统计，著名的数学家就有数十人，有记载的数学专

著就有百余种，数学研究内容有了明显变化，几何学得到了调度发展。

在宋元高峰时期基本上是以代数为中心的时期，这一机发堵大锅饭阴

谋次议程的数值解法、母性方程级的解法、高阶等差数列、组合数学、

半符号以及数论范畴的同余式级的解法等，都縠了当时世界的最高水

平。

1050年前后，北宋数学家贾宪撰写了一部《黄帝九章算术细草》

的著作，绘出了用“增乘开方”来解形如“Xn=A”的方程的方法，

迈出了将传统数学的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的

重要一步。秦九韶于1244年—1247年在家为母亲守孝期间写出了《数

书九章》这部传世著作，其主要内容是他此前几十年间替埋头钻研数

学的结果，这部著作继承了中国古代传统数学的色，特别是受《九章

算术》的影响，采用了问题集的形式。全书收集了与当时社会生活密

切相关的18个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共

18卷。他对著名的“孙子问题”的深刻苦钻研，终于使解决一次同

余式（组）问题的方法形成了较系统的数学理论，其成绩是十分巨大

的。与中国相比，西方数学家对于同余式（组）的研究则要迟得多，

直到18世纪，经欧拉、拉格朗日和高斯三代数学巨匠前后60多年的

努力，才比较系统地建立了一次同余式的理论。

而“天元术”的产生更标志着中国传统数学发展到了一个新的高

度，这就是半符号代数的产生。据研究，这一先进的数学方法产生于

12世纪。李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介

绍和研究“天元术”的著作。

宋元数学不公是中国数学史上最辉煌的一页，同时也是中世纪

时期世界数学史上最丰富多彩的一页，然而由于后继无人等诸方面原

因，中国数学发展到高峰以后突然中断，随之而来的是明代数学研究

的断层。

四 中国传统数学的衰落与复苏——明清时期

从明代开始，中国封建社会开始衰落，但由于根深蒂固的封建

帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利得以发展。统治阶级为

了维护其统治地位，规定科举制度必须采用“八股文体”，使得大批

知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，

加上生产力水平低下，与数学理论高度发展相脱节的实际状况，致使

中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落。

明末清初，西方数学虽然受到封建统治阶级的排斥与禁锢，但

还是通过传教、经商等途径陆续传入中国。西方数学知道的传入，给

濒于死亡的中国传统数学注入了新的血液，使之由衰落开始转入复

苏。这里的数学研究工作出现了两个人倾向：一是对西方传入的数学

进行整理、加工、消化、吸收；二是重新钻石整理中国的传统数学。

清初杰出的天文学家、数学家梅文鼎（1637—1721）以实事求

是的态度整理加工西方数学，融合中西方数学的精华，编撰了《梅氏

历算全书》，计30种75卷，涉及初等数学各个分支，对中国数学的

发展起到了承前启后的作用，与他同代的王锡著有《圜解》，为中国

自著最早的三角学著作之一。

继梅、王二人之后，中国数学研究又出现了高潮，数学家与数

学著作层出不穷，但是到了20世纪，中国沦为半封建、半殖民地，

受世界先进的现代科学文